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かなり適当な不定期日記(仮)
――日々の思いや出来事の織り成すカオスを言語化してみる。
【暫定】紙の輪飾り(輪つなぎ)切断を擬似数学的に考えてみる【建設中】
03月24日 (木)
七夕とかお誕生会とかで飾る、輪飾り(輪つなぎ)ってあるじゃないですか。
こんな感じのです:
[輪飾りのフリー素材を探してきて貼る]

これに関しての面白話題なのですが。

先日、知人から
「紙の輪飾りを糊でくっつけてから、輪に沿って縦に切ると面白い」
と聞き、そして一緒に思考実験をしてみたり、実際にやってみたりしました。

[輪2つの切断説明図でも置く]
こんな感じに、くっつけた輪飾りを切っていくのですが…


まずは、できた物を紹介します。
(以下ネタバレなので、興味があったらまずやってみてください。)







輪1つから輪8つの輪飾りの切断・展開結果が、こちらです!

paper-chain-cut-1-4.jpg
paper-chain-cut-5-8.jpg
(クリックで拡大できます)


輪っかのつながりを切っているのに、何故か正方形とか立体交差とかが出来ています。
…不思議でしょう?


この結果が面白くて、またパターン化できそうだったので、
この記事で擬似数学的に考えてみます。(*1)
(*1)(飽くまでも擬似なので、数学的に正式な、トポロジー的解析等はしません。)
   (と言うか誰か書いてください)



簡単な説明は他の記事にも載っていますので、そちらも併せてご覧ください:
Google検索:輪飾り+正方形
Google検索:輪つなぎ+正方形


以下、記事を読んだり、実際にやってみた事を前提に、話を進めます。

(この記事の英語版:Paper chain cutting






定義を少々


定義一覧

まずは、この現象を考えるにおいて、お互いに話が通じるように、
決め毎・ルール をいくつか定義します(*1)
(すぐ後に簡単に説明しますので、難しかったら読み飛ばしてください)
 ☆ 前提:すべての輪を縦に切り分けて展開するので、元の輪飾りの全ての淵をなぞれば、展開図の形がわかる。
  1. それぞれの輪の淵に沿って進み、半輪単位に進むごとの、曲がり方について考える。
  2. 開始する輪の外側を「表」とし、内側を「裏」とする。
    連結する輪の表裏については、前の輪の表裏と、接着面で繋がるようにする。
  3. 曲がる方向は、常に表から見た方向とする。
  4. 左折をL、右折をR、直進をSと記述する。(何もしないをIとする。)
    合間に1単位直進しつつ、連続した経路を記述の列記とする。
  5. 辿る経路は、輪飾りの端をスタート地点とする。
  6. a) 切断結果が一繋がりの場合、左折(L)から始まる記述とする。
    b) 切断結果が複数の場合、それぞれのパーツについて、別々に列記する。
       (その際、スタート地点と回る方向を合わせるようにする。)

このままだとわかりにくいので、それぞれについて少し説明をしていきます。

(*1):ただし厳密な定義等は割愛します。
定義をかみ砕いてみる

それぞれについて、より簡単に説明してみます。
(それでもわかりにくかったら、先に下の実例を見てもらった方が、
 わかりやすいかもしれません。)
☆ 前提:すべての輪を縦に切り分けて展開するので、元の輪飾りの全ての淵をなぞれば、展開図の形がわかる。
これは言葉通りで、それぞれの輪を二分するので、その結果の片方の淵(=元の輪飾りの全ての淵)をなぞれば、切断後のそれぞれの元・輪の、展開後の形が見えてくるよね、って事です。(*2)

1. それぞれの輪の淵に沿って進み、半輪単位に進むごとの、曲がり方について考える。
これは、輪をなぞる時、輪の半分進むごとに、何が起こるかを見てみよう、と言う事です。

2. 開始する輪の外側を「表」とし、内側を「裏」とする。
   連結する輪の表裏については、前の輪の表裏と、接着面で繋がるようにする。
これは、後で使うので、輪の表裏を決めておくと便利だよね、って事です。
最初の輪の外側が表、後の輪では表と表が繋がるように貼り付けようね、って事です。
これについては、後の実例の色分けを見てもらうのが一番簡単です。
(下の方の図の、ピンクの面が表です。)

3. 曲がる方向は、常に表から見た方向とする。
これは、例えば車が左折する光景を想像してください。
その光景を、地面の中から見てみてください。
どっちに曲がっていますか?
…そう、右に曲がっているように見えます。…左折なのに。
この混乱を防ぐために、「今は上から見ようね」と決めている訳です。

4. 左折をL、右折をR、直進をSと記述する。(何もしないをIとする。)
   合間に1単位直進しつつ、連続した経路を記述の列記とする。
これは、なぞる際に、輪飾りの貼り合わせの角で曲がり、そしてその曲がり角が全て直角になので、左折、右折、直進、の三つに分けましょうと言う事です。
そして、展開した時は、この経路を見やすくするために、例えば碁盤の目の道路が張り巡らされている街で、一ブロックずつ進みつつ、曲がり角に来るたびに、左折、右折、直進、のどれかを選んで、その経路を考えてみましょう、と言う事です。
そしてその際、いちいち「まず一つ目の信号を右折、その次の信号でまた右折、次の信号は直進して、二つ目の信号を左折」と書くのが面倒なので、これを「RRSL」って省略しちゃいましょう、と言う事です。

5. 辿る経路は、輪飾りの端をスタート地点とする。
これは、単にスタート地点を決めているだけです。

6. a) 切断結果が一繋がりの場合、左折(L)から始まる記述とする。
   b) 切断結果が複数の場合、それぞれのパーツについて、別々に列記する。
      (その際、スタート地点と回る方向を合わせるようにする。)
a) については、例えると「山手線は内回りと外回りがあるけど、今は内回りで考えましょう」と決めている感じです。
b) は、切った結果、複数のパーツになったら、それぞれについて、こう考えよう、と言う事です。

(*2):紙のねじれに関してはここでは考えません、展開したらねじれ無しに平たくなると考えてください。


それぞれの実例について考えてみた


輪2つ

まずは、輪を2つ使った輪飾りの場合を考えてみます。

【図:輪飾り、輪2つ、色付き、淵なぞりパターンなし】
ピンクの面が「表」です。
これから「スタート」と書いてある場所から、輪飾りの淵をなぞっていきます。

(実際に自分で輪飾りを作ってみて、一緒に試してみると、
 よりわかりやすいかもしれません。)
(やってみよう!)

さて、スタート地点から、矢印の方向に半輪分進んでみます。
【図:輪飾り、輪2つ、色付き、淵なぞりパターン L まで】
曲がり角がありますね。
ピンクの面を上にして見ると…左に曲がっています。
なので、ここは「L」とします。

次に、もう半輪分進みます。
【図:輪飾り、輪2つ、色付き、淵なぞりパターン LS まで】
…何もありませんね。
なので直進します。「S」ですね。

もう半輪分進むと、また曲がり角です。
【図:輪飾り、輪2つ、色付き、淵なぞりパターン LSL まで】
ピンクの面をから見ると…また左折です。「L」ですね。

もう半輪分進むと、また何もありません。直進、「S」ですね。
【図:輪飾り、輪2つ、色付き、淵なぞりパターン LSLS まで】


これを、スタート地点に戻るまでやってみると、こうなります:
【図:輪飾り、輪2つ、色付き、淵なぞりパターン全部】
「LSLSLSL」
規則的できれいですね。


さて、今度はこのパターンを、矢印を使って、平面に展開します。
さっきの結果通りに、碁盤上の街の地図上で、車を走らせると考えてください。
とある交差点から開始し、まずは北(上)方向に走り出すと考えましょう。

最初は、「L」、左折でしたね。
【図:L】

その次は…「S」、直進でしたね。
【図:LS】

その次は、また「L」の左折ですね。
【図:LSL】


これを繰り返すと、こうなりました。
【図:LSLSLSL】
(矢印は、後のために少しまとめています。)


この形、実際に切った紙と同じですね。
【図:紙が正方形になってる】 


ちなみに、一連の対応性を動くgifでまとめると、こうなります:
【図:gif 輪飾りで矢印追加していく、平面図に矢印追加していく、紙を追加していく】


こんな感じで、もう少し見ていきます。
(~~~以下建設中~~~)


輪3つ

(長方形二つ)


輪4つ

(田の字)


輪5つ

(メガネっぽいのが二つだけど、繋がらない…?)


輪1つ

(輪二つ)


再び輪5つ

(実は輪付きメガネ二つ)


輪6つ以上

(上記の類似形)




パターンを考える


タイプ別に分けてみる

(タイプ1、タイプ2、タイプ3、タイプ4(仮))


巻き数について考えてみる

(輪を4つ増やすと、小正方形が一巻き増える)


数学っぽく結果を書いてみる

(n hoops => (n mod 4) type base + floor(n/4) small squares in each of the 4 corners)


タイプ0?

(無を取得)



なんとなくまとめ

(なんかまとめっぽいのを先に書く)


こんな面白い結果が出るのに、実際の作業自体は単純なので、
小学校~中学校の夏休みの自由研究にしても、楽しいかもしれませんね。

その子に合わせた深さの解析が出来るので、
「不思議だねー、なんでだろう?面白いねー」 でも、
「貼り合わせが直角だから、直角を合わせた展開図が出来ます」 でも、
「輪が4つ増える事に規則性があります」 でも、
あるいはこの記事のレベルまでの思考説明でも、
更に進めてトポロジカルに説明しても、
どれでも面白い所があり、楽しめます。

個人的には、小さい頃からこう言った楽しさに触れて、
算数・数学の面白さを知って貰えたら嬉しいですね。



2016/03/24 枠組み作成。
2016/03-04 文章打ち込み中。一先ずは下書きを写すだけで、推敲・校正無し。
2016/06/24 暫定的に切断後の展開図の一式の画像だけ先に添付。

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